본 과제에서는 일반적인 4차원 미분다양체의 위상 및 미분구조, 즉 ‘((b2+-b1+1)/2, c12)-좌표상에서 어느 격자점들이 기약 4차원 미분다양체에 의해서 나타낼 수 있는지를 밝히는 문제’와 ‘표준 미분구조와는 다른 특이 미분구조가 존재하는지’ 그리고 존재한다면 ‘얼마 ...

본 과제에서는 일반적인 4차원 미분다양체의 위상 및 미분구조, 즉 ‘((b2+-b1+1)/2, c12)-좌표상에서 어느 격자점들이 기약 4차원 미분다양체에 의해서 나타낼 수 있는지를 밝히는 문제’와 ‘표준 미분구조와는 다른 특이 미분구조가 존재하는지’ 그리고 존재한다면 ‘얼마나 많은 특이 미분구조가 존재하는지’를 밝히는 문제를 연구하였다.
구체적으로 첫째, b2+=1인 경우에 blow-up과 rational blow-down을 사용하여 기존의 알려진 유리곡면(rational surface)과 다른 새로운 종류의 b2+=1이고 c12=4인 단순연결된 기약 4차원 미분다양체를 건설하였으며, 이들은 무한히 많은 특이 미분구조를 갖는다는 보였다. 둘째, b2+>1인 경우에 단순연결인 제한된 범주에서 얻어진 기존의 알려진 결과들을 단순연결이 아닌 일반적인 경우로 확장하였다. 즉 "거의 모든 유한생성 표현군 G에 대하여, (b2+-b1+1)/2가 충분히 크고 0 ≤ c12< 9(b2+-b1+1)/2 을 만족하는 임의의 격자점 ((b2+-b1+1)/2, c12)에 대응하는 기본군이 G인 기약 4차원 미분다양체가 존재하고, 이들은 무한히 많은 서로 다른 특이 미분구조를 갖는다"는 사실을 증명하였다.

In this research project we studied the topological and differential structures of smooth 4-manifolds, that is, we studied the existence problem of irreducible smooth 4-manifolds corresponding to ((b2+-b1+1)/2, c12)-lattice point and the exotic smooth ...

In this research project we studied the topological and differential structures of smooth 4-manifolds, that is, we studied the existence problem of irreducible smooth 4-manifolds corresponding to ((b2+-b1+1)/2, c12)-lattice point and the exotic smooth structures of such 4-manifolds.
Explicitly, in case of b2+=1, we first constructed an infinite family of new simply connected smooth 4-manifolds with b2+=1 and c12=4 which are not diffeomorphic to rational surfaces. Second, in case of b2+>1, we extended known results to the non-simply connected case, that is, we proved that "For almost all finitely generated presented group G, if every lattice point ((b2+-b1+1)/2, c12) satisfies 0 ≤ c12< 9(b2+-b1+1)/2 and (b2+-b1+1)/2 large enough, there exists an irreducible smooth 4-manifold with fundamental group G corresponding to the lattice point and it admits infinitely many distinct exotic smooth structures."

일반적인 4차원 미분다양체의 위상구조와 미분구조를 밝히는 문제는 크게 다음 두 가지로 나눌 수 있는데, 첫째는 존재성에 관한 문제로 구체적으로 ‘((b2+-b1+1)/2, c12)-좌표상에서 어느 격자점들이 기약 4차원 미분다양체에 의해서 나타낼 수 있는지’를 밝히는 문제이 ...

일반적인 4차원 미분다양체의 위상구조와 미분구조를 밝히는 문제는 크게 다음 두 가지로 나눌 수 있는데, 첫째는 존재성에 관한 문제로 구체적으로 ‘((b2+-b1+1)/2, c12)-좌표상에서 어느 격자점들이 기약 4차원 미분다양체에 의해서 나타낼 수 있는지’를 밝히는 문제이며, 둘째는 그러한 미분다양체가 존재하는 경우, ‘표준 미분구조와는 다른 특이 미분구조가 존재하는지’ 그리고 존재한다면 ‘얼마나 많은 특이 미분구조가 존재하는지’를 밝히는 문제이다.
본 과제에서는 첫째, b2+=1인 경우에 blow-up과 rational blow-down을 사용하여 기존의 알려진 유리곡면(rational surface)과 다른 새로운 종류의 b2+=1이고 c12=4인 단순연결된 기약 4차원 미분다양체를 건설하였으며, 이들은 무한히 많은 특이 미분구조를 갖는다는 보였다. 둘째, b2+>1인 경우에 단순연결인 제한된 범주에서 얻어진 기존의 알려진 결과들을 단순연결이 아닌 일반적인 경우로 확장하였다. 구체적으로 "거의 모든 유한 생성 표현군 G에 대하여, (b2+-b1+1)/2가 충분히 크고 0 ≤ c12 <9(b2+-b1+1)/2 을 만족하는 임의의 격자점 ((b2+-b1+1)/2, c12)에 대응하는 기본군이 G인 기약 4차원 미분다양체가 존재하고, 이들은 무한히 많은 특이 미분구조를 갖는다"는 사실을 증명하였다.

연구결과
1. 새로운 종류의 b2+=1이고 c12=4인 단순연결된 기약 4차원 미분다양 체들을 건설하였으며, 이를 이용하여 유리곡면 CP2#5(-CP)2 위에 무한히 많은 특이 미분구조(exotic smooth structure)가 존재함을 보였다 (결과논문1).
2. 단순연결된 4차원 미분다양체 ...

연구결과
1. 새로운 종류의 b2+=1이고 c12=4인 단순연결된 기약 4차원 미분다양 체들을 건설하였으며, 이를 이용하여 유리곡면 CP2#5(-CP)2 위에 무한히 많은 특이 미분구조(exotic smooth structure)가 존재함을 보였다 (결과논문1).
2. 단순연결된 4차원 미분다양체의 좌표상의 위치에 관한 기존의 알려진 결과들을 단순연결이 아닌(non-simply connected) 일반적인 4차원 미분다양체로 확장하였다 (결과논문2).

결과활용
본 연구의 결과물들은 국제 저명학술지(SCI) 및 재단 등재지에 발표할 예정으로 이는 4차원 미분다양체의 연구에 매우 중요한 역할을 할 것으로 확신한다.
특히, 본 연구과제의 첫째 연구결과(결과논문1)는 S. Donaldson이 4차원 미분다양체에 gauge 이론을 도입한 이래 십수년 동안 미해결 문제로 남아있던 "b2+=1이고 c12>0을 만족하는 유리곡면(rational surface) 위의 특이 미분구조(exotic smooth structure)의 존재성"을 해결한 결과로 b2+=1인 단순연결된 4차원 미분다양체의 위상 및 미분구조를 파악하는데 핵심적인 역할을 할 것이다.