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https://www.krm.or.kr/krmts/link.html?dbGubun=SD&m201_id=10005203&local_id=10001607
4차원 미분다양체의 위상 및 미분구조에 관한 연구 (A study on topological and differential structures of smooth 4-manifolds)
Researcher who has been awarded a research grant by Humanities and Social Studies Support Program of NRF has to submit an end product within 6 months(* depend on the form of business)
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  • Researchers have entered the information directly to the NRF of Korea research support system
Project Number C00002
Year(selected) 2004 Year
the present condition of Project 종료
State of proposition 재단승인
Completion Date 2004년 12월 30일
Year type 결과보고
Year(final report) 2004년
Research Summary
  • Korean
  • 본 과제에서는 일반적인 4차원 미분다양체의 위상 및 미분구조, 즉 ‘((b2+-b1+1)/2, c12)-좌표상에서 어느 격자점들이 기약 4차원 미분다양체에 의해서 나타낼 수 있는지를 밝히는 문제’와 ‘표준 미분구조와는 다른 특이 미분구조가 존재하는지’ 그리고 존재한다면 ‘얼마나 많은 특이 미분구조가 존재하는지’를 밝히는 문제를 연구하였다.
    구체적으로 첫째, b2+=1인 경우에 blow-up과 rational blow-down을 사용하여 기존의 알려진 유리곡면(rational surface)과 다른 새로운 종류의 b2+=1이고 c12=4인 단순연결된 기약 4차원 미분다양체를 건설하였으며, 이들은 무한히 많은 특이 미분구조를 갖는다는 보였다. 둘째, b2+>1인 경우에 단순연결인 제한된 범주에서 얻어진 기존의 알려진 결과들을 단순연결이 아닌 일반적인 경우로 확장하였다. 즉 "거의 모든 유한생성 표현군 G에 대하여, (b2+-b1+1)/2가 충분히 크고 0 ≤ c12< 9(b2+-b1+1)/2 을 만족하는 임의의 격자점 ((b2+-b1+1)/2, c12)에 대응하는 기본군이 G인 기약 4차원 미분다양체가 존재하고, 이들은 무한히 많은 서로 다른 특이 미분구조를 갖는다"는 사실을 증명하였다.
  • English
  • In this research project we studied the topological and differential structures of smooth 4-manifolds, that is, we studied the existence problem of irreducible smooth 4-manifolds corresponding to ((b2+-b1+1)/2, c12)-lattice point and the exotic smooth structures of such 4-manifolds.
    Explicitly, in case of b2+=1, we first constructed an infinite family of new simply connected smooth 4-manifolds with b2+=1 and c12=4 which are not diffeomorphic to rational surfaces. Second, in case of b2+>1, we extended known results to the non-simply connected case, that is, we proved that "For almost all finitely generated presented group G, if every lattice point ((b2+-b1+1)/2, c12) satisfies 0 ≤ c12< 9(b2+-b1+1)/2 and (b2+-b1+1)/2 large enough, there exists an irreducible smooth 4-manifold with fundamental group G corresponding to the lattice point and it admits infinitely many distinct exotic smooth structures."
Research result report
  • Abstract
  • 일반적인 4차원 미분다양체의 위상구조와 미분구조를 밝히는 문제는 크게 다음 두 가지로 나눌 수 있는데, 첫째는 존재성에 관한 문제로 구체적으로 ‘((b2+-b1+1)/2, c12)-좌표상에서 어느 격자점들이 기약 4차원 미분다양체에 의해서 나타낼 수 있는지’를 밝히는 문제이며, 둘째는 그러한 미분다양체가 존재하는 경우, ‘표준 미분구조와는 다른 특이 미분구조가 존재하는지’ 그리고 존재한다면 ‘얼마나 많은 특이 미분구조가 존재하는지’를 밝히는 문제이다.
    본 과제에서는 첫째, b2+=1인 경우에 blow-up과 rational blow-down을 사용하여 기존의 알려진 유리곡면(rational surface)과 다른 새로운 종류의 b2+=1이고 c12=4인 단순연결된 기약 4차원 미분다양체를 건설하였으며, 이들은 무한히 많은 특이 미분구조를 갖는다는 보였다. 둘째, b2+>1인 경우에 단순연결인 제한된 범주에서 얻어진 기존의 알려진 결과들을 단순연결이 아닌 일반적인 경우로 확장하였다. 구체적으로 "거의 모든 유한 생성 표현군 G에 대하여, (b2+-b1+1)/2가 충분히 크고 0 ≤ c12 <9(b2+-b1+1)/2 을 만족하는 임의의 격자점 ((b2+-b1+1)/2, c12)에 대응하는 기본군이 G인 기약 4차원 미분다양체가 존재하고, 이들은 무한히 많은 특이 미분구조를 갖는다"는 사실을 증명하였다.
  • Research result and Utilization method
  • 연구결과
    1. 새로운 종류의 b2+=1이고 c12=4인 단순연결된 기약 4차원 미분다양 체들을 건설하였으며, 이를 이용하여 유리곡면 CP2#5(-CP)2 위에 무한히 많은 특이 미분구조(exotic smooth structure)가 존재함을 보였다 (결과논문1).
    2. 단순연결된 4차원 미분다양체의 좌표상의 위치에 관한 기존의 알려진 결과들을 단순연결이 아닌(non-simply connected) 일반적인 4차원 미분다양체로 확장하였다 (결과논문2).

    결과활용
    본 연구의 결과물들은 국제 저명학술지(SCI) 및 재단 등재지에 발표할 예정으로 이는 4차원 미분다양체의 연구에 매우 중요한 역할을 할 것으로 확신한다.
    특히, 본 연구과제의 첫째 연구결과(결과논문1)는 S. Donaldson이 4차원 미분다양체에 gauge 이론을 도입한 이래 십수년 동안 미해결 문제로 남아있던 "b2+=1이고 c12>0을 만족하는 유리곡면(rational surface) 위의 특이 미분구조(exotic smooth structure)의 존재성"을 해결한 결과로 b2+=1인 단순연결된 4차원 미분다양체의 위상 및 미분구조를 파악하는데 핵심적인 역할을 할 것이다.
  • Index terms
  • 특이 미분구조(exotic smooth structure), fiber-sum, geography problem, rational blow-down, 유리곡면(rational surface), Seiberg-Witten 불변량
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