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d'Alembert 와 Jensen Type 함수 방정식들의 안정성
Reports NRF is supported by Research Projects( d'Alembert 와 Jensen Type 함수 방정식들의 안정성 | 2005 Year 신청요강 다운로드 PDF다운로드 | 김광휘(강남대학교) ) data is submitted to the NRF Project Results
Researcher who has been awarded a research grant by Humanities and Social Studies Support Program of NRF has to submit an end product within 6 months(* depend on the form of business)
  • Researchers have entered the information directly to the NRF of Korea research support system
Project Number C00006
Year(selected) 2005 Year
the present condition of Project 종료
State of proposition 재단승인
Completion Date 2006년 07월 29일
Year type 결과보고
Year(final report) 2006년
Research Summary
  • Korean
  • Alembert 함수방정식 : f(x+y)+f(x-y) = 2f(x)f(y)는
    두개의 미지함수를 포함하는 f(x+y)+f(x-y) = 2f(x)g(y)과 f(x+y)+f(x-y) = 2g(x)f(y)으로 일반화 되었으며 그중 첫 번째는 Wilson 함수방정식으로 불려지고 있다. 이들과 연관된 형태로서 f(x+y)+f(x-y) = 2f(x)는 Jensen 함수방정식이라 한다.

    본 연구에서는 상기 뒷 3개의 함수방정식에 동형사상(sigma)를 추가하여 일반화되어진 Alembert type의 함수방정식들 : f(x+y)+f(x + sigma y) = 2g(x)f(y), f(x+y)+f(x+ sigma y) = 2f(x)g(y) 과 Jensen type의 함수방정식 : f(x+y)+f(x+ sigma y) = 2f(x) 에 대하여 상수에 의한 유계를 함수에 의한 유계로 발전된 강안정성(Superstability)을 증명하였다.

    얻어진 결과로부터 4개의 함수방정식: Alembert, Wilson, Jensen, 그리고 f(x+y)+f(x-y) = 2g(x)f(y) 들에 대한 안정성도 따름정리로 얻었다. 또한 이들 결과를 Banach Algebra 로 확장된 치역에서도 성립함을 밝혔다.

    3개의 주된 방정식 중 첫 번째 함수방정식의 안정성을 밝힌 정리를 소개하고, 일반화된 Wilson 과 Jensen 방정식의 안정성에 대하여도 같은 형태의 결과를 얻었다.

    정리 1. Abelian 그룹 G(+)상에서 함수 f,g : G --> C(complex field) 가
    |f(x+y)+f(x + sigma y) - 2g(x)f(y)| < (i) phi(x), 또는 (ii) phi(x) 과 phi(y)
    만족한다고 하자.
    그러면
    (i) f 가 유계이거나 또는 g 가 g(x+y)+g(x + sigma y) = 2g(x)g(y) 만족하고,
    (ii) g(또는 f) 가 유계이거나 또는 g 가 g(x+y)+g(x + sigma y) = 2g(x)g(y) 만족하고,
    또한 f 와 g 는 f(x+y)+f(x + sigma y) = 2g(x)f(y) 와 f(x+y)+f(x + sigma y) = 2f(x)g(y) 를 만족한다.
    특히 후자의 경우 f(x)=b/2 (m(x) + m(sigma x)) 와 g(x)=1/2 (m(x) + m(sigma x)) 를 만족하는 동형사상 m이 존재한다.
  • English
  • The Alembert functional equation : f(x+y)+f(x-y) = 2f(x)f(y) is generalized to
    two equations : f(x+y)+f(x-y) = 2f(x)g(y)and f(x+y)+f(x-y) = 2g(x)f(y), first of which is called the Wilson functional equation. The functional equation f(x+y)+f(x-y) = 2f(x) related with these equations is called the Jensen functional equation.

    In this paper, we proved the superstability under the condition bounded by function of the Alembert type functional equations and Jensen type functional equation as follows :
    f(x+y)+f(x + sigma y) = 2g(x)f(y),
    f(x+y)+f(x+ sigma y) = 2f(x)g(y),
    f(x+y)+f(x+ sigma y) = 2f(x),
    which are generalized by addition of the homomorphism sigma.
    As a consequence, from the obtained results, we have the superstability of four functional equations : d'Alembert equation, Wilson equation, f(x+y)+f(x - y) = 2g(x)f(y), and Jensen equation as corollaries. And also we have extended the obtained results to the Banach algebra.

    In the following Theorem, we will introduce a superstability of the d'Alembert type functional equation( generalization of Alembert and Wilson), which is one of the obtained main results. We have obtained the stability of other equations in the same types. Also we have extended our results to Banach Algebra.

    Theorem 1. Let (G,+) be a group. Suppose that f,g : G --> C satisfy the inequality
    |f(x+y)+f(x + sigma y) - 2g(x)f(y)| < (i) phi(x), or (ii) phi(x) and (i) phi(y)
    for all x,y in G.
    Then
    (i) either f is bounded or g satisfies ,
    (ii) either g(or f) is bounded or g satisfies g(x+y)+g(x + sigma y) = 2g(x)g(y),
    also f and g satisfy f(x+y)+f(x + sigma y) = 2g(x)f(y) and f(x+y)+f(x + sigma y) = 2f(x)g(y).
    Furthermore, in the latter case, there exists a homomorphism m
    such that f(x)=b/2 (m(x) + m(sigma x)) and g(x)=1/2 (m(x) + m(sigma x)) for all x in G,
    where b is a constant.
Research result report
  • Abstract
  • The aim of this paper is to study the stability problem
    of the d'Alembert type and Jensen type functional equations:
    f(x+y)+f(x+\sigma y) = 2g(x)f(y)
    f(x+y)+f(x+\sigma y) = 2f(x)g(y)
    f(x+y)+f(x+\sigma y) = 2f(x).
  • Research result and Utilization method
  • 1. 연구결과.
    Alembert 함수방정식 : f(x+y)+f(x-y) = 2f(x)f(y)는
    두개의 미지함수를 포함하는 f(x+y)+f(x-y) = 2f(x)g(y)과 f(x+y)+f(x-y) = 2g(x)f(y)으로 일반화 되었으며 그중 첫 번째는 Wilson 함수방정식이라한다. 또한 이들과 연관된 형태로서 f(x+y)+f(x-y) = 2f(x)는 Jensen 함수방정식이라 한다.

    본 연구에서는 이들 함수방정식에 동형사상(sigma)를 추가하여 일반화된 Alembert type의 함수방정식들 : f(x+y)+f(x + sigma y) = 2g(x)f(y), f(x+y)+f(x+ sigma y) = 2f(x)g(y) 과 Jensen type의 함수방정식 : f(x+y)+f(x+ sigma y) = 2f(x) 에 대하여 상수에 의한 유계를 함수에 의한 유계로 발전된 강안정성(Superstability)을 증명하였다.
    결과적으로 얻어진 정리들로부터 당초에 연구계획되었던 Alembert 와 Wilson 함수 방정식들의 안정성을 얻었을 뿐만 아니라, Jensen 함수 방정식의 안정성을 얻었다.
    즉,
    (1) 기존의 Alembert 와 Wilson (Alembert 의 1차 일반화) 함수 방정식을 포함하여, Wilson 의 변수 도치에 의한 새로운 Type 으로 일반화된 Alembert 함수 방정식 및 Jensen 함수 방정식 들에 동형사상을 추가하여 4개의 새로운 함수방정식에 대한 안정성을 연구하였다.
    (2) 기존의 상수에 의한 유계를 함수에 의한 유계로 안정성의 내용을 크게 확장하였다.

    2.활용방안.
    (1) 진보된 일반화(Pexiderization)의 함수방정식
    의 안정성 연구로 발전하게 될것이다.
    즉, 삼각함수의 가법공식, 배각 및 반각공식, 합과 차의 공식들의 형태의 안정성으로 발전하는 단계로 활용 될 것이다.
    (2) Cosine과 Sine Type의 함수를 포함하는 미분 방정식의 Laplace 변환의 근사해의 오차범위 축소에 활용될것이다.
  • Index terms
  • cosine functional equation, d'Alembert functional equation, Wilson functional equation, Jensen functional equation, superstability, Hyers-Ulam stability
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