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https://www.krm.or.kr/krmts/link.html?dbGubun=SD&m201_id=10007225&local_id=10011730
고전적 모형론과 대안 논리의 형식 의미론에 관한 연구: 수학과 철학의 문제들
Reports NRF is supported by Research Projects( 고전적 모형론과 대안 논리의 형식 의미론에 관한 연구: 수학과 철학의 문제들 | 2004 Year | 정인교(고려대학교) ) data is submitted to the NRF Project Results
Researcher who has been awarded a research grant by Humanities and Social Studies Support Program of NRF has to submit an end product within 6 months(* depend on the form of business)
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  • Researchers have entered the information directly to the NRF of Korea research support system
Project Number A00025
Year(selected) 2004 Year
the present condition of Project 종료
State of proposition 재단승인
Completion Date 2006년 05월 27일
Year type 결과보고
Year(final report) 2006년
Research Summary
  • Korean
  • 본 연구의 주된 목표는 모형론의 주요 미해결 과제에 대한 연구를 통해 고전적 모형론을 수학적으로 더욱 발전시키는 동시에, 고전적 모형론의 철학적 기초를 검토하면서 대안 논리의 형식 의미론과 대안적 모형론의 가능성을 모색하는 것이었다. 이를 위해 본 연구에서는, 고전적 모형론의 단순성 이론과 고전적 모형론에 대한 비판 및 그 대안으로서의 다치 논리와 직관주의 논리의 의미론에 대한 연구를 세부과제로 삼았다.
    단순성이론에 관한 연구에서는 분할과 단순성의 관계와 유사한 관계가 약분할과 안정성 사이에 성립함을 보이는 다음과 같은 결과를 증명하였다: "약분할은 안정된 이론에서만 대칭적이다." "안정성과 약분할의 좌국소적 특성은 동치이다." "안정되지 않은 단순이론에서는 약분할이 이행적일 수 있다."
    다치 논리에 관한 연구에서는 클리니와 딘즈의 무한 다치 논리와 그 변형들에 대한 형식의미론이 대수적 방법에 의해 연구되었다. 특히 이들의 체계의 주요 변형들에 대한 대수적 완전성 정리들을 얻을 수 있었다.
    직관주의 논리의 의미론에 관한 연구에서는 고전 논리에 대한 직관주의적 비판, 특히 더밋의 비판을 염두에 둔 연구가 진행되었다. 무한영역에 관한 양화를 고전 논리의 방식대로 다루는 것은 부적절하다는 비판과 그 직관주의적 대안에 관해 연구하였다.
  • English
  • This project aimed a cooperative inter-disciplinary study on the classical model theory and its alternatives. Specifically, we aimed to study mathematical and philosophical problems concerning simple theories, many-valued logic and intuitionistic logic.
    Concerning simple structures, we concentrated on the notion of "weak dividing" introduced by S. Shelah. We showed that the relation between weak dividing and stability is analogous with the relation between dividing and simplicity. For example, we showed that weak dividing is symmetric only in stable theories. Stability is also equivalent to left local character of weak dividing. However for the transitivity of weak dividing, a similar analogy does not exist. Namely, in a non-stable simple theory (e.g. the theory of the random graph), weak dividing can be transitive.
    Concerning many-valued logic, we investigated algebraic semantics for sKD and its extensions sKD△, sKD∀, and sKD∀△: sKD is a variant of the infinite-valued Kleene-Diense logic KD; sKD△ the sKD with the Baaz's projection △; and sKD∀ and KD∀△ are the first order extensions of sKD and sKD△, respectively. We provided algebraic completeness for each of sKD and sKD△. We also showed that each sKD∀ and sKD∀△ is algebraically complete.
    In connection with intuitionistic logic, we examined intuitionistic crticisms of classical logic. We concentrated on problems relating to quantifications on infinite domain. We examined problems exhibited by intuitionists such as M. Dummett and intuitionistic alternatives.
Research result report
  • Abstract
  • 본 연구의 주된 목표는 모형론의 주요 미해결 과제에 대한 연구를 통해 고전적 모형론을 수학적으로 더욱 발전시키는 동시에, 고전적 모형론의 철학적 기초를 검토하면서 대안 논리의 형식 의미론과 대안적 모형론의 가능성을 모색하는 것이었다. 이를 위해 본 연구에서는, 고전적 모형론의 단순성 이론과 고전적 모형론에 대한 비판 및 그 대안으로서의 다치 논리와 직관주의 논리의 의미론에 대한 연구를 세부과제로 삼았다.
    단순성이론에 관한 연구에서는 분할과 단순성의 관계와 유사한 관계가 약분할과 안정성 사이에 성립함을 보이는 다음과 같은 결과를 증명하였다: "약분할은 안정된 이론에서만 대칭적이다." "안정성과 약분할의 좌국소적 특성은 동치이다." "안정되지 않은 단순이론에서는 약분할이 이행적일 수 있다."
    다치 논리에 관한 연구에서는 클리니와 딘즈의 무한 다치 논리와 그 변형들에 대한 형식의미론이 대수적 방법에 의해 연구되었다. 특히 이들의 체계의 주요 변형들에 대한 대수적 완전성 정리들을 얻을 수 있었다.
    직관주의 논리의 의미론에 관한 연구에서는 고전 논리에 대한 직관주의적 비판, 특히 더밋의 비판을 염두에 둔 연구가 진행되었다. 무한영역에 관한 양화를 고전 논리의 방식대로 다루는 것은 부적절하다는 비판과 그 직관주의적 대안에 관해 연구하였다.
    This project aimed a cooperative inter-disciplinary study on the classical model theory and its alternatives. Specifically, we aimed to study mathematical and philosophical problems concerning simple theories, many-valued logic and intuitionistic logic.
    Concerning simple structures, we concentrated on the notion of "weak dividing" introduced by S. Shelah. We showed that the relation between weak dividing and stability is analogous with the relation between dividing and simplicity. For example, we showed that weak dividing is symmetric only in stable theories. Stability is also equivalent to left local character of weak dividing. However for the transitivity of weak dividing, a similar analogy does not exist. Namely, in a non-stable simple theory (e.g. the theory of the random graph), weak dividing can be transitive.
    Concerning many-valued logic, we investigated algebraic semantics for sKD and its extensions sKD△, sKD∀, and sKD∀△: sKD is a variant of the infinite-valued Kleene-Diense logic KD; sKD△ the sKD with the Baaz's projection △; and sKD∀ and KD∀△ are the first order extensions of sKD and sKD△, respectively. We provided algebraic completeness for each of sKD and sKD△. We also showed that each sKD∀ and sKD∀△ is algebraically complete.
    In connection with intuitionistic logic, we examined intuitionistic crticisms of classical logic. We concentrated on problems relating to quantifications on infinite domain. We examined problems exhibited by intuitionists such as M. Dummett and intuitionistic alternatives.


  • Research result and Utilization method
  • 본 연구의 목표는 논리학의 모형론과 형식 의미론에 속하는 주요 문제를 수학과 철학의 학제 간 협동연구를 통해 조명하고 그 해결책을 모색함으로써, 이 분야에 대한 연구를 진전시키려는 것이었다. 이 연구에 참여한 3인의 연구원들과 3인의 연구보조원들은 서로 빈번한 토론과 공동연구를 통해 세부과제에 관한 연구를 주도하였으며, 그 결과 목표했던 소기의 성과를 이룰 수 있었다.
    고전적 모형론의 주요 분야인 단순 이론에 관한 연구를 주도한 연구원 갑은 단순 이론에서 중요한 역할을 하는 "분할"개념의 밀접한 상관자인 "약한 분할"과 단순 이론의 특수 경우인 안정된 이론의 관계에 관해 중요한 사실을 밝혀내었다. 그는 공동연구를 통해 분할과 단순성의 관계가 약분할과 안정성의 관계와 유사함을 드러내는 다음과 같은 결과를 증명하였다: "약분할은 안정된 이론에서만 대칭적이다." "안정성과 약분할의 좌국소적 특성은 동치이다." "안정되지 않은 단순이론에서는 약분할이 이행적일 수 있다." 이 연구는 "A note on weak dividing"이란 제목으로 Archive for mathematical logic (Publisher: Springer)에 게재 확정되어 곧 출판될 예정이다.
    고전 모형론에 대한 대안으로 다치 논리에 대한 연구를 주도한 연구원 을은 클리니와 딘즈의 무한 다치 논리의 여러 변형들에 대한 대수적 의미론을 확립하였다. 이 연구에서는 sKD와 그것의 확장 sKD△, sKD∀, sKD∀△의 대수적 의미론을 연구되었다. sKD는 무한 다치 클리니-딘즈 논리 KD의 변형이다. sKD△ 는 바즈의 프로젝션 △를 갖는 sKD이다. sKD∀과 sKD∀△는 sKD와 sKD△ 각각의 1계 논리로의 확장이다. 먼저 sKD와 sKD△의 대수적 완전성을 제공되고, sKD∀와 sKD∀△가 대수적으로 완전하다는 것이 밝혀졌다. 이 연구는 "Algebraic completeness results for sKD and its Extensions"라는 제목으로『논리연구』(한국논리학회)에 출판되었다.
    고전 모형론에 대한 비판과 직관주의적 대안에 관한 연구를 주도한 연구원 병은 고전 논리에 대한 직관주의적 비판, 특히 더밋의 비판을 염두에 두고 직관주의 논리의 의미론에 관한 연구를 주도하였다. 특히 무한영역에 관한 양화를 고전 논리의 방식대로 다루는 것은 부적절하다는 비판과 그 직관주의적 대안에 관한 연구가 진행되었다. 이 연구의 결과는 곧 학술지에 투고될 예정이다.
    고전적 모형론의 철학적 기초에 대한 검토와 더불어 연관 논리와 직관주의 논리의 형식의미론 및 대안적 모형론에 대한 본 연구는 그 자체의 학술적 기여 이외에도 철학과 수학의 학제간 연구를 활성화하는 좋은 계기가 될 것이다.
    본 연구는 기초학문분야의 협동연구이기 때문에, 학술적 및 교육적 기여와 활용을 1차 목표로 하였다. 단순성 이론에 관한 연구는 모형 이론의 핵심 분야에 의미 있는 수리논리학적 기여를 할 것으로 생각되며, 다치 논리와 직관주의 논리의 의미론에 관한 연구도 앞으로의 논의를 위해 유용한 기여를 할 수 있을 것이다. 이런 점에서 본 협동연구는 상대적으로 취약한 국내의 모형론 연구와 교육에 좋은 활력소가 될 것이며, 기초학문 분야의 학제 간 연구와 교육을 활성화하기 위한 모범적 사례가 될 수 있을 것으로 생각한다.
  • Index terms
  • 단순 이론, 안정성, 약한 분할, 분할, 클리니-딘즈 논리, 무한 다치 논리, 대수적 의미론, 직관주의, 더밋 simple theory, stability, weak dividing, dividing, Kleene-Diense logic, infinite-valued logic, algebraic semantics, intuitionism, Dummett
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