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보고서 상세정보
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특이 섭동 비선형 미분 방정식의 다양한 해의 구성을 위한 변분법 개발
한국연구재단 인문사회연구지원사업을 통해 연구비를 지원받은 연구자는 연구기간 종료 후 6개월 이내에 결과보고서를 제출하여야 합니다.(*사업유형에 따라 결과보고서 제출 시기가 다를 수 있음.)
- 연구자가 한국연구재단 연구지원시스템에 직접 입력한 정보입니다.
연구과제번호 |
C00072 |
선정년도 |
2006 년
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과제진행현황 |
종료 |
제출상태 |
재단승인 |
등록완료일 |
2007년 08월 20일 |
연차구분 |
결과보고 |
결과보고년도 |
2007년 |
결과보고시 연구요약문
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국문
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특이 섭동된 타원형 편미분 방정식의 연구에 있어 큰 두 가지 흐름은 Floer-Weistein 에 의해 제시된 Lyapunov-Schmidt reduction method 와 Rabinowitz 에 의해 제시된 variational method 이다. Lyapunov-Schmidt reduction method를 사용하기
위하여 limiti ...
특이 섭동된 타원형 편미분 방정식의 연구에 있어 큰 두 가지 흐름은 Floer-Weistein 에 의해 제시된 Lyapunov-Schmidt reduction method 와 Rabinowitz 에 의해 제시된 variational method 이다. Lyapunov-Schmidt reduction method를 사용하기
위하여 limiting problem에 대한 아주 강력한 가정을 하여야 한다. 그러나 이 가정이 mountain pass solution의 존재성에 필요한
가정보다 강하므로 일반적인 비선형 항이 주어져 있을 때는 이 방법을 이용할 수 없는 단점이 있다. 그럼에도 불구하고
Lyapunov-Schmidt reduction method를 이용하면 매우 세밀한 분석이 가능하므로 다양한 해의 존재성과 그의 안정성,
불안정성을 보일 수 있다. 반면 variational method 는 limiting problem 에 관한 특별한 가정 없이 어떤 해들의 존재를 밝힐 수
있으나 세밀한 분석이 기술적으로 어려우므로 Lyapunov-Schmidt reduction method 를 사용하여 얻을 수 있는
다양한 해들의 존재를 보이는 것이 어렵다. 최근 본 연구자는 새로운 변분적 방법을 고안하여 이제까지 강력한 조건 아래서
얻어졌던 결과들을 가장 optimal 조건인 Berestycki-Lions 조건에서 프랑스에 있는 Jeanjean 과 공동으로 차원이 3이상인 경우
특이 섭동문제의 potential 의 극소점들에 집중되는 해의 구성에 성공하였다. 1 또는 2 차원인 경우는 Tanaka, Jeanjean 과 공동으로
해결하였다.
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영문
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Two big schemes are used for the study of standing waves for singularly perturbed nonlinear elliptic problems.
One is the Lyapunov-Schmidt reduction method introduced by Floer-Weinstein to the singularly perturbed nonlinear elliptic problems, and th ...
Two big schemes are used for the study of standing waves for singularly perturbed nonlinear elliptic problems.
One is the Lyapunov-Schmidt reduction method introduced by Floer-Weinstein to the singularly perturbed nonlinear elliptic problems, and the other is a variational method introduced by Rabinowitz. To apply the Lyapunov-Schmidt reduction method,
we need some strong condition on the nonlinearity; in fact, the condition is strictly stronger than the known sufficient conditions for the existence of simple solutions.On the other hand, the traditional variational method is powerful to show existence of certain(non-simple) solutions under more weak conditions than those required when we apply the Lyapunov-Schmidt reduction method. But the traditional variational method still need more strong conditions than Berestycki-Lions conditions which is optimal conditions for the existence of a finite energy solution of a limiting problem.
Recently, this researcher and Jeanjean could prove an existence of a spike layer solution concentrating around an isolated
set of local minimum points of a potential when a space dimension is greater than 2.
One and two dimensional cases which are more involved in proofs have been resolved via a collaboration with Jeanjean and Tanaka.
연구결과보고서
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초록
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특이섭동된 준선형 타원형 2차 편미분 방정식을 생각한다.
이 문제는 상응하는 극한 문제가 존재하는데 이는 비선형 항 f 에 대한 거의 필요 충분조건하에
mountain pass solution 가 존재함이 알려져 있다.
이 조건하에서 특이섭동된 준선형 타원형 2차 편미분 ...
특이섭동된 준선형 타원형 2차 편미분 방정식을 생각한다.
이 문제는 상응하는 극한 문제가 존재하는데 이는 비선형 항 f 에 대한 거의 필요 충분조건하에
mountain pass solution 가 존재함이 알려져 있다.
이 조건하에서 특이섭동된 준선형 타원형 2차 편미분 방정식을의 특정해의 존재를 밝힌다.
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연구결과 및 활용방안
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특이섭동된 준선형 타원형 2차 편미분 방정식의 극한 문제가 mountain pass solution 을 갖기위한 비선형
항 f 에 대한 가장 일반적인 조건하에 포텐셜 함수의 극소값에 에너지가 집중되는 해의 존재가
차원이 3이상일 경우 본인과 Jeanjean에 의해 증명되었다. 차원 ...
특이섭동된 준선형 타원형 2차 편미분 방정식의 극한 문제가 mountain pass solution 을 갖기위한 비선형
항 f 에 대한 가장 일반적인 조건하에 포텐셜 함수의 극소값에 에너지가 집중되는 해의 존재가
차원이 3이상일 경우 본인과 Jeanjean에 의해 증명되었다. 차원이 1 또는 2 일 경우는 증명이 보다 난해하다.
이를 Kazunaga Tanaka, Louis Jeanjean 과 공동 연구를 통하여 해결하였다.
또한 보다 어려운 Neumann 또는 Dirichlet 경계조건을 가질 때 3차원 이상일 경우에 해결하였다.
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