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https://www.krm.or.kr/krmts/link.html?dbGubun=SD&m201_id=10011153&local_id=10020174
특이 섭동 비선형 미분 방정식의 다양한 해의 구성을 위한 변분법 개발
Reports NRF is supported by Research Projects( 특이 섭동 비선형 미분 방정식의 다양한 해의 구성을 위한 변분법 개발 | 2006 Year 신청요강 다운로드 PDF다운로드 | 변재형(포항공과대학교) ) data is submitted to the NRF Project Results
Researcher who has been awarded a research grant by Humanities and Social Studies Support Program of NRF has to submit an end product within 6 months(* depend on the form of business)
사업별 신청요강보기
  • Researchers have entered the information directly to the NRF of Korea research support system
Project Number C00072
Year(selected) 2006 Year
the present condition of Project 종료
State of proposition 재단승인
Completion Date 2007년 08월 20일
Year type 결과보고
Year(final report) 2007년
Research Summary
  • Korean
  • 특이 섭동된 타원형 편미분 방정식의 연구에 있어 큰 두 가지 흐름은 Floer-Weistein 에 의해 제시된 Lyapunov-Schmidt reduction method 와 Rabinowitz 에 의해 제시된 variational method 이다. Lyapunov-Schmidt reduction method를 사용하기
    위하여 limiting problem에 대한 아주 강력한 가정을 하여야 한다. 그러나 이 가정이 mountain pass solution의 존재성에 필요한
    가정보다 강하므로 일반적인 비선형 항이 주어져 있을 때는 이 방법을 이용할 수 없는 단점이 있다. 그럼에도 불구하고
    Lyapunov-Schmidt reduction method를 이용하면 매우 세밀한 분석이 가능하므로 다양한 해의 존재성과 그의 안정성,
    불안정성을 보일 수 있다. 반면 variational method 는 limiting problem 에 관한 특별한 가정 없이 어떤 해들의 존재를 밝힐 수
    있으나 세밀한 분석이 기술적으로 어려우므로 Lyapunov-Schmidt reduction method 를 사용하여 얻을 수 있는
    다양한 해들의 존재를 보이는 것이 어렵다. 최근 본 연구자는 새로운 변분적 방법을 고안하여 이제까지 강력한 조건 아래서
    얻어졌던 결과들을 가장 optimal 조건인 Berestycki-Lions 조건에서 프랑스에 있는 Jeanjean 과 공동으로 차원이 3이상인 경우
    특이 섭동문제의 potential 의 극소점들에 집중되는 해의 구성에 성공하였다. 1 또는 2 차원인 경우는 Tanaka, Jeanjean 과 공동으로
    해결하였다.
  • English
  • Two big schemes are used for the study of standing waves for singularly perturbed nonlinear elliptic problems.
    One is the Lyapunov-Schmidt reduction method introduced by Floer-Weinstein to the singularly perturbed nonlinear elliptic problems, and the other is a variational method introduced by Rabinowitz. To apply the Lyapunov-Schmidt reduction method,
    we need some strong condition on the nonlinearity; in fact, the condition is strictly stronger than the known sufficient conditions for the existence of simple solutions.On the other hand, the traditional variational method is powerful to show existence of certain(non-simple) solutions under more weak conditions than those required when we apply the Lyapunov-Schmidt reduction method. But the traditional variational method still need more strong conditions than Berestycki-Lions conditions which is optimal conditions for the existence of a finite energy solution of a limiting problem.
    Recently, this researcher and Jeanjean could prove an existence of a spike layer solution concentrating around an isolated
    set of local minimum points of a potential when a space dimension is greater than 2.
    One and two dimensional cases which are more involved in proofs have been resolved via a collaboration with Jeanjean and Tanaka.
Research result report
  • Abstract
  • 특이섭동된 준선형 타원형 2차 편미분 방정식을 생각한다.
    이 문제는 상응하는 극한 문제가 존재하는데 이는 비선형 항 f 에 대한 거의 필요 충분조건하에
    mountain pass solution 가 존재함이 알려져 있다.
    이 조건하에서 특이섭동된 준선형 타원형 2차 편미분 방정식을의 특정해의 존재를 밝힌다.
  • Research result and Utilization method
  • 특이섭동된 준선형 타원형 2차 편미분 방정식의 극한 문제가 mountain pass solution 을 갖기위한 비선형
    항 f 에 대한 가장 일반적인 조건하에 포텐셜 함수의 극소값에 에너지가 집중되는 해의 존재가
    차원이 3이상일 경우 본인과 Jeanjean에 의해 증명되었다. 차원이 1 또는 2 일 경우는 증명이 보다 난해하다.
    이를 Kazunaga Tanaka, Louis Jeanjean 과 공동 연구를 통하여 해결하였다.
    또한 보다 어려운 Neumann 또는 Dirichlet 경계조건을 가질 때 3차원 이상일 경우에 해결하였다.
  • Index terms
  • 특이섭동, 극한문제, 비선형항
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