본 연구는 단위원을 갖고 결합률이 성립하는 환(associative ring with identity)을 대상으로 한다. 환 이 영원(zero element)이 아닌 멱영원(nilpotent element)을 갖지 않을 때, 이 환 을 정제 환(reduced ring)이라고 부른다. 모든 정제 환들은 Armendariz 환이 되며, ...

본 연구는 단위원을 갖고 결합률이 성립하는 환(associative ring with identity)을 대상으로 한다. 환 이 영원(zero element)이 아닌 멱영원(nilpotent element)을 갖지 않을 때, 이 환 을 정제 환(reduced ring)이라고 부른다. 모든 정제 환들은 Armendariz 환이 되며, Armendariz 환은 McCoy 환이 된다. Armendariz 환의 일반화인 McCoy 환은 최근에, Nielsen에 의하여 정의되었는데, 이것은 1942년 McCoy가 가환 환에서 증명한 정리 즉, "가환 환위의 두 다항식이 서로 영인자이면 각각의 다항식은 주어진 가환 환에서 영인자를 갖는다"를 비가환 환으로 확장한 것이다. 가환 환과 일반화된 정제 환들 및 McCoy 환과의 관계를 살펴보면 다음과 같다.--

(1) commutative rings ⇒ symmetric rings⇒ reversible rings ⇒ semicommutative rings

(2) reduced rings ⇒ Armendariz rings ⇒ McCoy rings

(3) reduced rings ⇒ symmetric rings ⇒ reversible rings ⇒ McCoy rings ---

한편, Armendariz 특성은, 다른 각도로 꼬인 다항식환에서의 skew Armendariz 환으로 확장되었고, 이것은 꼬인 다항식환의 정제성과 관련이 깊다. 따라서, 본 연구자는 일반화된 정제환과 McCoy 환들과의 관계를 꼬인 다항식 환(skew polynomial ring)위로 확장한다. 특히, 꼬인 다항식 환에서의 McCoy조건을 연구하고자하는데, 이러한 정의의 도입은 꼬인 다항식환의 구조를 파악하기 위해서 중요한 일이다. 따라서, 환과 환의 한 endomorphism 'sigma'를 이용하여 다음과 같은 단계에 걸쳐 연구한다. --
(1) 1단계: 일반화된 rigid 성질을 만족하는 환 규정(sigma-reversible 환, sigma-symmetric 환 및 sigma-semicommutative 환) 및 상호 관련성 규명
(2) 2단계: 1단계에서 구성된 환들과 extended Armendariz 환들과의 관계 규정 (sigma-Armendariz 환, sigma-skew Armendariz 환)

(3) 3 단계: 꼬인다항식 환에서의 McCoy 조건을 만족하는 환 정의(sigma-skew McCoy 환)

(4) 4단계: 1단계와 2단계 에서 얻어진 결과와 꼬인 다항식 환위에서의 McCoy 조건과의 관계 규정

(5) 5단계: 꼬인 다항식 환위에서의 McCoy 조건과 관련하여 확장 환 과 환 사이의 Baer 성, quasi-Baer 성, p.q.-Baer 성 그리고 p.p. 성 등의 연구 --

Definition. Let sigma be an endomorphism of a ring R. The ring R is called a skew McCoy ring with respect to sigma
(simply, sigma-skew McCoy ring) if for any nonzero polynomials p(x)=sum_{i=0}^ma_ix^i and q(x)=sum_{j=0}^nb_jx^j in R[x;sigma ], p(x ...

Definition. Let sigma be an endomorphism of a ring R. The ring R is called a skew McCoy ring with respect to sigma
(simply, sigma-skew McCoy ring) if for any nonzero polynomials p(x)=sum_{i=0}^ma_ix^i and q(x)=sum_{j=0}^nb_jx^j in R[x;sigma ], p(x)q(x)=0 implies p(x)c=0 for some nonzero c in R.

Proposition. Let sigma be an endomorphism of a ring R. (1) If R is a sigma-skew Armendariz ring, then R is sigma-skew McCoy. (2) Suppose that R and S are rings with a ring isomorphism alpha : R rightarrow S. Then R is a sigma-skew McCoy ring if and only if S is an alpha sigma alpha^{-1}-skew McCoy ring.
(3) If R[x;sigma] is right McCoy then R is sigma-skew McCoy.

Theorem. Let sigma be a monomorphism of a reversible ring R such that R is right sigma-reversible. Then (1) R is sigma-skew McCoy; and (2) for any nonzero polynomials p(x), q(x) in R[x;sigma] with p(x)q(x)=0, there exists 0 neq c in R such that cq(x)=0.

Theorem. Let sigma be an endomorphism of a ring R and sigma^t=id}_R for some positive integer t. Then R is sigma-skew McCoy ring if and only if R[x] is bar sigma-skew McCoy ring.

Theorem. Let sigma be an endomorphism of a ring R. Then R is sigma-skew McCoy if and only if S_n(R) is bar sigma-skew
McCoy for any n geq 2.

Theorem. Let R be a right and left Ore ring with its classical quotient ring Q(R). Then R is right McCoy if and only if Q(R) is
right McCoy.

Corollary. For a ring R, R[x] is right McCoy if and only if R[x;x^{-1}] is right McCoy.

Based on a theorem of McCoy on commutative rings, Nielsen called a ring R right McCoy if, for any nonzero polynomials f(x), g(x) over R, f(x)g(x)=0 implies f(x)r=0 for some 0 \neq r in R. In this note, we consider a skew version of these rings, cal ...

Based on a theorem of McCoy on commutative rings, Nielsen called a ring R right McCoy if, for any nonzero polynomials f(x), g(x) over R, f(x)g(x)=0 implies f(x)r=0 for some 0 \neq r in R. In this note, we consider a skew version of these rings, called sigma-skew McCoy rings, with respect to a ring endomorphism sigma. When sigma is the identity endomorphism, this coincides with the notion of a right McCoy ring. Basic properties of sigma-skew McCoy rings are observed and some of the known results on right McCoy rings are obtained as corollaries.

We are motivated to introduce the notion of a skew McCoy ring R with respect to an endomorphism sigma of R. This notion extends both ring McCoy rings and skew Armendariz rings. We do this by considering the McCoy condition on polynomials in R[x;sigma ...

We are motivated to introduce the notion of a skew McCoy ring R with respect to an endomorphism sigma of R. This notion extends both ring McCoy rings and skew Armendariz rings. We do this by considering the McCoy condition on polynomials in R[x;sigma] instead of R[x]. This provides us with an
opportunity to study McCoy rings in a general setting, and several known results on McCoy rings are obtained as corollaries.