■ 연구제목: 프레게와 힐버트 – 현대 수학철학의 두 기원

이 연구에서 나는 두 문제에 관심이 있었다. (1) 데데킨트는 프레게와 마찬가지로 산수학에 관한 논리주의자로 간주할 만한가? (2) 힐버트의 공리적 방법은 프레게의 공리적 방법과 어떤 차이를 갖는가? 연구 1년 ...

■ 연구제목: 프레게와 힐버트 – 현대 수학철학의 두 기원

이 연구에서 나는 두 문제에 관심이 있었다. (1) 데데킨트는 프레게와 마찬가지로 산수학에 관한 논리주의자로 간주할 만한가? (2) 힐버트의 공리적 방법은 프레게의 공리적 방법과 어떤 차이를 갖는가? 연구 1년차에 나는 문제 (1)을, 2년차에 문제 (2)를 다루었다.

■ 1년차: 프레게와 데데킨트 – 두 논리주의?

데데킨트는 산수학에 대한 그의 두 주요 저서 <연속성과 무리수>(1872)와 <수는 무엇이고 무엇이어야 하는가>(1888)에서 산수가 논리법칙에만 근거한다고 말하고, 산수를 논리학의 분과로 간주한다. 그런데 이상한 점은 많은 학자들은 마찬가지 주장을 하는 프레게는 대표적인 논리주의자로 간주하지만 데데킨트는 그렇게 간주하지 않는다는 점이다. 그 이유는 이른바 카르납 논제와 관련되어 있다. 카르납에 따르면 논리주의는 수학의 개념을 논리적 개념으로 환원하고, 수학의 정리를 논리학의 정리로 환원하는 일이다. 그러나 데데킨트는 논리학 이론을 체계화하지 않았으므로, 수학을 무엇으로 환원해야 할지 불분명하다. 하지만 나는 이 사실을 받아들이더라도 데데킨트는 여전히 논리주의자로 간주할 만하다는 것을 세 가지 이유를 들어 논증한다. (1) 첫째로 데데킨트는 프레게와 마찬가지로 산수가 자연과학이나 기하학처럼 경험이나 직관에 근거하지 않는다고 생각했고, 논리학을 순수 개념적 사고로만 가능한 영역의 연구로 간주했고, 산수를 논리학과 마찬가지로 순수 개념적 사고에 의해 수행되는 연구로 간주했다. (2) 둘째로 데데킨트는 후대의 대부분의 논리주의자들과 달리 논리학 및 그 일부로서 산수를 언어 규약에 의존하는 비생산적인 과학으로 간주하는 견해를 거부하고, 새로운 정보를 전해주는 생산적인 과학으로 간주하였다. (3) 셋째로 데데킨트는 자연수 이론이나 실수 이론을 순수 추상적 구조를 다루는 아주 일반적인 과학으로 간주하였다. 이 점에서 볼 때 데데킨트의 논리주의는 구체적 영역에의 적용을 강조하는 프레게보다 더 산수의 논리적 순수성을 강조한다.

■ 2년차: 프레게와 힐버트 – 공리적 방법

잘알려진 대로 프레게는 <기하학의 기초>(1899)에 제시된 힐버트의 공리이론에 관한 견해를 비판하였다. 프레게의 관점에서 보면 공리, 정의, 의미, 지시, 진리 및 수학적 존재 등의 기본 개념에 관한 힐버트의 생각은 전반적으로 확고한 근거를 갖고 있지 못한 것으로 간주된다. 두 사람의 서신을 처음 접하는 사람은 그들의 수학철학이 마치 화해할 수 없을 정도로 다르다는 인상을 갖게 된다. 이 때문에 많은 해설가들은 주로 그들 사이의 핵심적 차이가 무엇인지 규정하려고 노력해 왔다. 이 연구에서 나의 관심은 이전 연구들과 조금 다르다. 나는 주로 힐버트 메타수학에 대한 프레게의 재구성에 관심이 있다. 그 이유는 나는 그의 재구성은 힐버트 사상에 대한 아주 철저하고 깊은 분석을 근거로 삼아 수행된다고 믿기 때문이다. 이 연구의 과정에서 나는 그의 재구성은 그 자신의 유형론을 배경이론으로 삼아 초기 힐버트의 증명론 및 모형론을 철저히 연구한 결과로 간주되어야 한다고 확신하게 되었다. 이 관점에서 나는 다음 세 문제에 대답하려 하였다. (1) 힐버트의 암묵적 정의 방법에 따라 말의 의미를 고정하려 할 때, 피정의항과 정의항은 무엇으로 간주되어야 하는가? (2) 힐버트 형식이론과 그것의 개별 사례로서 내용적 이론을 명확하게 구분할 때, 힐버트의 메타수학적 증명에 대한 프레게의 최종 평가는 정확히 무엇인가? (3) 왜 힐버트는 형식이론의 공리들의 무모순성에서 그런 공리들의 모형의 존재로의 추론이 정당하다고 믿었는가? 프레게는 왜 그런 추론을 거부하였는가? 이 물음들에 대한 나의 답변 요지는 다음과 같다. 첫째로, 힐버트 정의의 대상들은 내용적 이론의 원초용어들이 아니라 형식이론의 논리적 구조이다. 그리고 그런 구조들은 상응하는 고차의 술어들에 의해 정의된다. 둘째로, 프레게는 힐버트의 메타수학적 증명이 하는 일은 내용적 이론의 공리들의 상호 관계를 보이는 데 있는 것이 아니라 형식이론의 지시체로서 고단계 논리적 관계의 속성들을 보이는 데 있다고 생각했다. 마지막으로 힐버트는 어떤 개념들이나 관계들이 논리적으로 양립 가능한 것일 때 언제나 그것들 모두를 만족시키는 모델을 논리적으로-수학적으로 구성할 수 있다고 생각한 것으로 보인다. 프레게 역시 그런 구성가능성을 거부하지는 않았겠지만, 그는 그런 경우에도 모델은 비어있을 가능성을 배제할 수 없어서 잘못 작동할 수 있다고 생각했다.

■ The subject of my research : Frege and Hilbert – Two origins of modern philosophies of mathematics.

In this research I was concerned with two problems: (1) Is it correct for us to classify Richard Dedekind into a logicist like Gottlob Frege? (2) W ...

■ The subject of my research : Frege and Hilbert – Two origins of modern philosophies of mathematics.

In this research I was concerned with two problems: (1) Is it correct for us to classify Richard Dedekind into a logicist like Gottlob Frege? (2) What are the differences between Hilbertian axiomatic methods and Frege’s conceptions of axiomatics? I deal with (1) in the first year of my reasearch, and (2) in the second year of my reasearch.

■ The first stage: Frege and Dedekind – two kinds of logicism?

Dedekind asserted that real anaysis and arithmetic should be regarded as parts of logic in his Stetigkeit und Irrationale Zahlen(1972) and his Was sind und was sollen die Zahlen?(1888). But it is a little strange that many commentators are reluctant to classify him into a logicist. This situation is related with the formulation of logicism given by Rudolf Carnap(1930). He regarded logicism as the conjunction of two theses: (1) mathematical concepts can be reduced to logical concepts by definition. (2) Mathematical theorems can be reduced to logical theorems by logical proofs. Since Dedekind did not explicitly formulate logic as the system of logical definitions and proofs, his logicist tenet on arithmetic are sometimes regarded just as a rough assertion belongs to the pre-logicist era. But I think that this kind of interpretation of logicist movement in 19C mathematics based on Carnapian formulation is misguided. Because Carnapian formulation does not teach us anything about what is logic nature of mathematics. I think that although it might be admitted that Dedekind did not provide a explicit formulation of logical theory, he could be deserve to be regarded as a logicist for the following reasons: (1) Firstly, he agree with Frege in the following theses: that arithmetic is nor based upon spatial and temporal intuition nor upon empirical observations unlike geometry and natural sciences, and that our logical faculty consists of pure conceptual thoughts, and that our knowledge of arithmetic and real analysis could be constructed on the basis of pure conceptual thoughts just like logic. (2) Secondly, he think with Frege that conceptual thoughts are not based upon some banal conventions of language, but could provide us new knowledge of abstract domain because of its very creativity. So unlike Kant and many 20C logicists, they do not think that logicality imply triviality. (3) Finally, Dedekind regarded arithematic and real analysis as theories which could be provided on the basis of very general and abstract principles alone, and he emphasized that systems of arithmetical objects could be created by the reflection on the general conceptual principles alone. In this sense, his logicism is more abstract than Fregean logicism based on the theory of logical objects.





■ The second stage: Frege and Hilbert – axiomatic methods.

It is well known that Frege criticised Hilbert’s conceptions of axiomatic theories given in Grunlagen der Geometrie(1899). In Frege’s eye, Hilbert’s thoughts of basic concepts such as axioms, definitions, meanings, references, truths, and mathematical existences seemed ill-founded. Anyone who read their correspondences at first would have the impression that the one's philosophy of mathematics incompatibly conflicted with the other's one. So most commentators has tried to fix what is the crucial difference between them form which other differences are originated. In this research my concerns are somewhat different from this kind of previous investigations. I am concerned with Frege's reconstructions of Hilbertian metamathematics, because I think his reconstructions were performed on the basis of a very thorough and deep analysis of Hilbert's thoughts. In the course of my research, I have come to be finally certain with that such reconstructions should be regarded as a thorough research of the early Hilbertian proof theory and model theory upon Fregean type-theoretical background theory. In this point of view, I tried to answer the following three questions: (1) When we try to fix the meanings of words by Hilbertian method of implicit definitions, what should we regard as definienda and definientia? (2) When we strictly distinguish Hilbertian formal theories from contentual theories as their particular cases, what are the very final results of Frege's assessments of Hilbertian metamathematical proofs? (3) Why did Hilbert believe that his inference from the consistency of axioms of a formal theory to the existence of their model was valid? Why did Frege reject such an inference? My answer to (1)-(3) are the followings: Firstly, the objects of Hilbertian definitions are not primitive terms of contentual theories but logical structures of formal theories, and those structures are defined by their corresponding higher-order predicates. Secondly, Frege finally regarded Hilbertian metamathematical proofs rather as those to show the existence of properties of the higher-order logical relation as the reference of a Hilbertian formal theory than as those to show the existence of mutual relationships among the axioms of a contentual theory. Finally, it seems that, in Hilbert’s opinion, whenever some concepts or relations are logically compatible with one another we could construct some logico-mathematical model satisfy it. Although it is probable that Frege admit the constructiblity of such a logical model, he did not believe that it could be excluded that such a model be ill-functioning because of its emptiness.

■ 연구제목: 프레게와 힐버트 – 현대 수학철학의 두 기원
이 연구에서 나는 두 문제에 관심이 있었다. (1) 데데킨트는 프레게와 마찬가지로 산수학에 관한 논리주의자로 간주할 만한가? (2) 힐버트의 공리적 방법은 프레게의 공리적 방법과 어떤 차이를 갖는가? 연구 1년 ...

■ 연구제목: 프레게와 힐버트 – 현대 수학철학의 두 기원
이 연구에서 나는 두 문제에 관심이 있었다. (1) 데데킨트는 프레게와 마찬가지로 산수학에 관한 논리주의자로 간주할 만한가? (2) 힐버트의 공리적 방법은 프레게의 공리적 방법과 어떤 차이를 갖는가? 연구 1년차에 나는 문제 (1)을, 2년차에 문제 (2)를 다루었다.

■ 1년차: 프레게와 데데킨트 – 두 논리주의?
나는 데데킨트를 논리주의자로 간주할 만하다는 것을 세 이유를 들어 논증한다. (1) 첫째로 데데킨트는 프레게와 마찬가지로 산수가 자연과학이나 기하학처럼 경험이나 직관에 근거하지 않는다고 생각했고, 논리학을 순수 개념적 사고로만 가능한 영역의 연구로 간주했고, 산수를 논리학과 마찬가지로 순수 개념적 사고에 의해 수행되는 연구로 간주했다. (2) 둘째로 데데킨트는 후대의 대부분의 논리주의자들과 달리 논리학 및 그 일부로서 산수를 언어 규약에 의존하는 비생산적인 과학으로 간주하는 견해를 거부하고, 새로운 정보를 전해주는 생산적인 과학으로 간주하였다. (3) 셋째로 데데킨트는 자연수 이론이나 실수 이론을 순수 추상적 구조를 다루는 아주 일반적인 과학으로 간주하였다. 이 점에서 볼 때 데데킨트의 논리주의는 구체적 영역에의 적용을 강조하는 프레게보다 더 산수의 논리적 순수성을 강조한다.

■ 2년차: 프레게와 힐버트 – 공리적 방법
나는 프레게와 힐버트 사이의 논쟁을 검토함으로써 다음 세 문제에 대답하려 하였다. (1) 힐버트 암묵적 정의 방법에 따라 말의 의미를 고정하려 할 때, 피정의항과 정의항은 무엇으로 간주되어야 하는가? (2) 힐버트 형식이론과 그것의 개별 사례로서 내용적 이론을 명확하게 구분할 때, 힐버트의 메타수학적 증명에 대한 프레게의 최종 평가는 정확히 무엇인가? (3) 왜 힐버트는 형식이론의 공리들의 무모순성에서 그런 공리들의 모형의 존재로의 추론이 정당하다고 믿었는가? 프레게는 왜 그런 추론을 거부하였는가? 이 물음들에 대한 나의 답변 요지는 다음과 같다. 첫째로, 힐버트 정의의 대상들은 내용적 이론의 원초용어들이 아니라 형식이론의 논리적 구조이다. 그리고 그런 구조들은 상응하는 고차의 술어들에 의해 정의된다. 둘째로, 프레게는 힐버트의 메타수학적 증명이 하는 일은 내용적 이론의 공리들의 상호 관계를 보이는 데 있는 것이 아니라 형식이론의 지시체로서 고단계 논리적 관계의 속성들을 보이는 데 있다고 생각했다. 마지막으로 힐버트는 어떤 개념들이나 관계들이 논리적으로 양립 가능한 것일 때 언제나 그것들 모두를 만족시키는 모델을 논리적으로-수학적으로 구성할 수 있다고 생각한 것으로 보인다. 프레게 역시 그런 구성가능성을 거부하지는 않았겠지만, 그는 그런 경우에도 모델은 비어있을 가능성을 배제할 수 없어서 잘못 작동할 수 있다고 생각했다.

■ 후속연구를 위한 활용방안
󰋫 이 연구는 수학사상사, 수학철학 및 논리철학의 전문적 연구로서 해당 분야에 새로운 기여를 할 것이다.
󰋫 이 연구는 수학사상사를 기반으로 삼아야 할 수학 교육 분야에 새로운 기여를 할 것이다.
󰋫 이 연구는 논리적 사고에 기반을 ...

■ 후속연구를 위한 활용방안
󰋫 이 연구는 수학사상사, 수학철학 및 논리철학의 전문적 연구로서 해당 분야에 새로운 기여를 할 것이다.
󰋫 이 연구는 수학사상사를 기반으로 삼아야 할 수학 교육 분야에 새로운 기여를 할 것이다.
󰋫 이 연구는 논리적 사고에 기반을 둔 합리적 토론이 더욱더 요구되는 최근 사회에서 논리적 사고를 진작시키는 데 기여할 것이다.
■ 교육적 활용방안
󰋫 이 연구 결과는 논리학, 수학철학 및 수학사를 다루는 대학 강의의 자료로 활용될 수 있을 것이다.
󰋫 이 연구 결과는 대학원 수업에서 토론의 자료로 이용될 수 있고, 향후 연구의 토대를 제공하는 구실을 할 것이다.