경제학에서 생산함수는 직각좌표(Cartesian Coordinate System)를 이용하여 산출량을 투입요소의 함수로 표기한다. 예를 들면 산출량 y는 자본과 노동의 함수이다, . 그러나 이러한 직각좌표 표기법을 이용하는 경우에, 생산함수가 가져야할 바람직한 성질들 [준오목성( ...

경제학에서 생산함수는 직각좌표(Cartesian Coordinate System)를 이용하여 산출량을 투입요소의 함수로 표기한다. 예를 들면 산출량 y는 자본과 노동의 함수이다, . 그러나 이러한 직각좌표 표기법을 이용하는 경우에, 생산함수가 가져야할 바람직한 성질들 [준오목성(quasiconcavity) 이나 동조성 (homotheticity)]을 만족시키는 생산함수를 만들기가 용이하지 않다. 즉 생산함수의 함수형태를 제한하거나 함수에 포함된 모수의 범위를 제한하여 흔히 준오목성과 동조성을 만족시키는 함수를 만들곤 한다. 이러한 어려움을 극복하기 위하여, 본 논문에서는 극좌표(Polar Coordinates)를 이용하여 생산함수를 표기하려고 한다. 극좌표 표기법은 생산요소인 자본과 노동을 원점에서의 길이 와 사이각 으로 표기한 후에 생산함수를 원점에서의 길이는 산출량과 생산요소의 비율로 표시하는 것이다. 이런 표기법을 이용하면, 생산함수에 준오목성과 동조성 조건을 부과하기가 쉽다. 등량곡선이 원점에 대하여 볼록하다는 조건은 위에서 언급한 생산함수의 준오목성과 일치한다.
본 논문에서는 우선 간단한 콥-다글라스 함수를 극좌표로 표기한 후에, 등량곡선(Isoquant)에 조그만 변이를 주어 생산함수를 일반화하고자 한다. 또 극좌표를 이용하여, 어떻게 생산함수의 극대화 문제, 생산함수에 동조성을 부과하는 방법, 규모의 경제문제 분석 및, 대체탄력성 문제를 연구하고자 한다.

그동안 국내외적으로 극좌표를 이용한 생산함수 표기법을 이용한 논문은 드물게 발견되는데, 그것도 극좌표 표기법이 논문의 주제가 아니라, 단지 기술적 필요에 의하여 이용되었을 뿐이다. 그 이유는 아직까지 체계적인 논리의 전개 및 기초적으로 필요한 많은 사항들 ...

그동안 국내외적으로 극좌표를 이용한 생산함수 표기법을 이용한 논문은 드물게 발견되는데, 그것도 극좌표 표기법이 논문의 주제가 아니라, 단지 기술적 필요에 의하여 이용되었을 뿐이다. 그 이유는 아직까지 체계적인 논리의 전개 및 기초적으로 필요한 많은 사항들이 유도되지 않았기 때문이다. 그러나 경제학에서 흔히 요구되는 준오목성과 동조성을 부과하는 문제를 해결하기 위하여 앞으로 더욱 많은 연구가 기대된다.


ㅇ 연구결과의 기대효과 및 활용
규모의 경제 분석과 대체탄력성 연구에 극좌표는 매우 유용하게 이용되리라 본다. 생산요소가 2개 일 때는 극좌표를 이용하지만, 생산요소가 여러개 있을때는 구좌표 (Spherical Coordinate System)을 이용하게 된다. 아울러, 기술변화가 있을때는 규모의 경제와 기술증가 효과를 구별하기가 어렵게 되는데, 이런 문제를 Sato (1980)은 holothecity개념을 이용하여 설명하고 있는데, 극좌표의 이용은 규모의 경제효과와 기술증가 효과를 구별하는데, 유용하리라 기대된다.

실증적인 경제학 분석에서 함수의 선택은 대단히 중요한 문제이다. 그러나 이보다 더욱 중요한 문제는 좌표 표기법의 선택이다. 좌표 체계가 적절히 선택되지 않으면, 중요한 경제학적 성질 (예를 들어 준오목성과 동조성)들을 만족시키는 함수(생산함수, 효용함수)들을 ...

실증적인 경제학 분석에서 함수의 선택은 대단히 중요한 문제이다. 그러나 이보다 더욱 중요한 문제는 좌표 표기법의 선택이다. 좌표 체계가 적절히 선택되지 않으면, 중요한 경제학적 성질 (예를 들어 준오목성과 동조성)들을 만족시키는 함수(생산함수, 효용함수)들을 설정하기가 대단히 어렵다. 잘 알려진 초월대수함수 (translog production function)는 준오목성이나 동조성을 부과하기 위하여는 함수에 포함된 모수에 여러 가지 제약을 추가하여야 하는데, 이 경우, 로그함수의 2차 전개식으로 표현된 초월대수의 여러 가지 장점들이 사라지게 된다. 즉 초월대수함수는 2차 테일러 전개식인데, 여기에 너무 많은 제약을 가하게 되면, 테일러 전개의 의미가 퇴색된다.
준오목성의 문제를 해결하기 위하여 Barnett and Jonas (1983)과 Barnett, Geweke, Yue (1991)등은 Muntz-Szatz 전개식을 도입하였지만, 전개식의 차수를 증가시킬 때, 전개식의 항수가 너무 급격히 증가한다는 단점이 있다. 또 동조성의 문제를 해결하기 위하여, Fare, Jansson, and Lovell (1985)는 선동조생산함수 (ray-homothetic production function)을 제시한 바 있다, 그러나 그들이 극좌표를 이용하였다면, 논문 표기가 훨씬 간편하였을 것이라고 생각된다. Sandler and Swimmer (1978)도 동조성을 여러 가지 각도에서 표현하였는데, 역시 극좌표의 개념을 간접적으로 이용하여 논문을 전개하였다.
극좌표 전개식은 우리에게 생산함수를 표기하는 완전한 새로운 방식을 가져다 준다. 일반적인 생산함수 표기법은 산출량을 생산요소의 함수로 표시하지만, 극좌표 표기법에서는 동경(動徑, r)을 산출량과 생산요소의 사이각으로 표기한다. 일반적으로, 기업들은 우선 산출량 수준을 결정한 후에, 생산요소의 비율을 결정하게 된다. 비록 극좌표란 표현은 사용하지 않았지만, 많은 논문에서 생산요소의 비율을 생산함수의 중요한 변수로 이미 사용하고 있다. Christensen and Greene (1976)은 요소가격을 자본가격의 상대비율로 표시하였고, Revankar (1971)은 가변 대체탄력성 함수 (Variable Elasticity of Substitution Production Functions)을 제안하면서, 생산요소의 사이각을 이용하였고, Zellner and Revankar (1971)이나 Zellner and Ryu (1998)에서도 비슷한 경우를 발견할 수 있다. Ryu (1993)은 Cobb-Douglas 함수나 CES 함수를 표기한데, 산출량을 동경(r)과 사이각()의 함수로 표기한 바 있다.
본 논문의 공헌은 다음과 같다. 우선, 생산함수의 새로운 표기법을 도입한 것이다. 즉 동경(r)을 종속변수로 보고, 산출량과 사이각을 독립변수로 보고 새로운 함수를 도입함으로서, 준오목성과 동조성의 부과를 용이하게 만든 것이다. 둘째로, 극좌표의 이용은 동조성의 새로운 정의를 가능케하여 준다. 즉 생산함수가 동경(r)만의 함수와 사이각 ()만의 함수로 분해될 수 있다면, 이 함수는 동조함수이다. 셋째로, 등량곡선(Isoquant)의 일반적인 형태를 제시하기 위하여, CES나 VES 함수에서 나온 등량곡선에 약간의 변이 (perturbation)를 추가하여, 보다 일반적인 등량곡선을 제시한다. 그 다음, 네 번째로 극좌표로 표시된 생산함수 표기법하에서 규모의 경제, 대체탄력성, 최적 생산요소의 선택등의 문제를 풀고, 다섯 번째로, 주어진 자료에서 보면, 사이각이 상당히 제한적인 영역에서만 존재하는데, 기존의 연구들은 모든 영역에서 등량곡선을 표기하는 오류를 범하곤 하였다. 따라서 사이각의 제한이 가져다 주는 새로운 제약이 도표를 이용한