수학은 실제 생활이나 과학에 없어서는 안 될 필수적인 것이다. 그럼에도 불구하고 실제로는 수학을 기피하는 현상이 우리 사회에 만연되어 있다. 수학이 기피 학문이 된 지는 오래이며, 설사 수학에 관심을 보이더라도 전산학이나 암호학 등 바로 쓰일 수 있는 응용 수학 ...

수학은 실제 생활이나 과학에 없어서는 안 될 필수적인 것이다. 그럼에도 불구하고 실제로는 수학을 기피하는 현상이 우리 사회에 만연되어 있다. 수학이 기피 학문이 된 지는 오래이며, 설사 수학에 관심을 보이더라도 전산학이나 암호학 등 바로 쓰일 수 있는 응용 수학 분야에 주로 관심을 보이는 것이 현실이다. 철학에서도 사정은 비슷해서, 수학 철학이나 논리 철학과 같은 순수 이론적이고 기초적인 영역보다는 윤리학이나 사회 철학과 같은 실천 철학 분야에 연구자가 더 많이 몰린다. 우리는 이 연구에서 공리적 방법의 본성 및 이의 도입으로 야기된 핵심적인 철학적 문제들을 탐구해 봄으로써, 수학의 탐구 방법론에 대한 관심을 일깨우고, 분과들 사이의 의사소통의 장벽을 해소하는 데 일조하고자 하였다. 공리적 방법의 본성 및 의미에 관한 문제는 철학자나 수학 철학자가 관심을 기울여야 할 문제일 뿐만 아니라 수학자, 과학자, 수학사가, 과학사가 등도 마땅히 관심을 기울여야 하는 문제이다. 이 연구를 통해 우리는 수학을 위시해 공리적 방법을 적용하는 모든 분야에서 자신의 학문 방법론의 본성을 되돌아볼 수 있는 기회가 되었다. 특히 공리적 방법의 본성과 그 함축에 대한 명료한 이해를 얻을 수 있었고, 공리적 방법이 논리학이나 수학의 각 분야에 어떻게 구체적으로 구현되고 있는지를 이해할 수 있게 되었다. 나아가 수학적 탐구의 본성과 수학적 대상의 문제, 수학적 진리의 문제 등 수학 철학의 핵심 문제에 대한 입장들을 잘 이해할 수 있게 되었다.

Although mathematics is an indispensable part for real life as well as for science, we usually do not give a proper concern on it. Many of us simply do not want to study mathematics. Even if we do, it is usually confined to applied mathemactics such a ...

Although mathematics is an indispensable part for real life as well as for science, we usually do not give a proper concern on it. Many of us simply do not want to study mathematics. Even if we do, it is usually confined to applied mathemactics such as cryptology. The situation is no better than in philosophy; many scholars in our country are doing philosophy on the area of ethics or social philosophy rather than on philosophy of mathematics or philosophy of logic. In this project, we wanted to pay attention on the methodology of mathematics, especially the axiomatic method. In so doing, we would like to get some profound understanding on the nature of mathematical enquiry, the nature of mathematical objects, the very nature of mathematical truths.

이 연구의 주제는 힐버트 학파의 공리적 방법이다. 우리는 이 연구를 크게 다음과 같이 두 부분으로 나누어 진행하였다. 첫째 부분은 가장 일반적이고 기초적인 문제로서 공리 체계 일반에 관한 힐버트 학파의 견해가 무엇인가 하는 문제이다. 이 연구는 다시 공리적 방법 ...

이 연구의 주제는 힐버트 학파의 공리적 방법이다. 우리는 이 연구를 크게 다음과 같이 두 부분으로 나누어 진행하였다. 첫째 부분은 가장 일반적이고 기초적인 문제로서 공리 체계 일반에 관한 힐버트 학파의 견해가 무엇인가 하는 문제이다. 이 연구는 다시 공리적 방법에 관한 힐버트의 초기 견해(1917년 이전 견해)와 성숙기의 견해(1917년 이후 견해)로 세분되어 2년에 걸쳐 진행하였다. 첫해에는 힐버트의 초기 견해가 프레게와의 논쟁을 통해 가장 잘 드러난다는 점에 착안해, 이 논쟁에 드러난 힐버트의 견해가 유클리드 전통의 견해와 무슨 차이가 있는지를 검토하였다. 둘째 해에는 공리화된 수학체계의 본성 및 고전수학의 본성에 대한 성숙기의 힐버트와 힐버트 학파 구성원들의 견해를 검토하였다.
이 연구의 둘째 부분은 힐버트 학파의 공리적 방법이 수학의 각 분야에 어떻게 적용되었는지, 그 방법이 철학에 준 영향이 무엇인지를 다루었다. 이 연구는 분야에 따라 다시 세 부분으로 나누어 진행되었다. 첫째 연구는 산수학의 공리체계와 메타수학적 연구 방법에 대한 힐버트 학파의 견해를 검토하는 것이었다. 둘째 연구는 집합론의 공리체계와 관련된 연구였다. 셋째 연구는 힐버트 학파의 공리적 방법이 철학에 어떤 영향을 주었는가 하는 문제에 관한 것이었다.

"일관성과 존재를 둘러싼 프레게/힐버트 논쟁"에서는 프레게와 힐버트 사이의 견해차의 근본 원인을 이전 학자들의 주장처럼 의미이론이나 개념적 분석의 역할에서 찾지 않고 프레게의 추론관에서 찾는 방안을 제안하고 있다. "산수학의 공리화와 힐버트의 유한주의"에서 ...

"일관성과 존재를 둘러싼 프레게/힐버트 논쟁"에서는 프레게와 힐버트 사이의 견해차의 근본 원인을 이전 학자들의 주장처럼 의미이론이나 개념적 분석의 역할에서 찾지 않고 프레게의 추론관에서 찾는 방안을 제안하고 있다. "산수학의 공리화와 힐버트의 유한주의"에서는 이념적 요소에 관한 힐버트의 견해를 일종의 도구주의적 수학철학으로 이해하는 것이 옳은지 검토하고, 그의 견해를 협소하게 도구적 견해에 제한하지 않고 수학적 구조주의로 이해하는 것이 옳다고 주장한다. "체르멜로와 공리적 방법"에서는 체르멜로와 힐버트의 사상이 어떻게 상호작용하며 발전해나갔는지를 규명하면서, 공리적 방법에 관한 체르멜로의 입장은 유클리드적인 전통적 접근법과 힐버트의 공리적 방법 사이에 놓인다고 주장한다. "공간론에서 힐버트와 카르납"에서는 공간론을 둘러싼 힐버트와 카르납의 견해차가 암묵적 정의에 있다고 보고, 암묵적 정의의 방식이 경험과학에서도 유용하려면 일정한 조건을 만족하여야 한다고 본 카르납의 견해는 정당하다고 평가하고 있다.
"힐버트와 형식주의"에서는 힐버트를 형식주의자나 도구주의자 환원주의자 등 여러 방식으로 규정하는 것은 모두 힐버트 사상의 일면을 반영할 뿐이며, 힐버트의 사상 자체가 변화를 겪었다고 주장한다. 특히 1926년에 가서야 본격적으로 등장하는 실제 정식과 이념적 정식의 구분이 힐버트 사상의 전모를 밝히는 데 핵심 역할을 한다고 주장한다. "힐버트 유한주의와 수학적 귀납법"에서는 괴델의 불완전성 증명 및 겐첸의 산수 무모순성 증명이 발표되기 이전에도 힐버트 학파 내에서는 유한적 관점에 대해 서로 다른 견해들이 존재했다고 주장하고, 힐버트가 수행한 최초의 산수 무모순 증명 시도(1905)에서 수 개념 및 수학적 귀납법이 미리 전제되므로 전체 증명이 순환적이라는 포앙카레의 비판은 아주 적절하고 정당한 비판이라고 평가하고 있다. "베르나이스와 공리적 방법"에서는 힐버트의 경우와 마찬가지로 베르나이스의 경우에도 전기, 중기, 후기 사상을 나누어 논의할 필요가 있다고 주장하고, 힐버트가 자신의 사상의 핵심을 공리적 방법으로 파악한 반면, 베르나이스는 공리적 방법의 지나친 강조가 지닌 위험성에 주목하면서 힐버트의 방법을 수학에 국한시키고 증명이론의 이론적 연구를 현대 수리논리학의 하나의 분야로 확립하는 데에 만족했다고 주장한다. "괴델 이후의 힐베르트와 카르납"에서는 힐버트주의자들은, 카르납과는 달리, 언어적 틀에 상대적이지 않은 어떤 경험적 세계 내에서 독립적으로 참이거나 거짓임이 밝혀질 수 있는 경험적 사실 문장들을 두고, 이후 그에 대해 별도로 마련된 수학을 적용하려 했기 때문에 결국 미리 그 수학의 일관성 증명이 필수적이라고 생각할 수밖에 없었던 반면, 카르납에게서는 그럴 필요가 없었다고 주장하고 있다.
󰋫 이번 연구의 결과는 수학적 탐구의 본성에 대한 국내 논의의 저변확대와 논의의 활성화를 위한 자료로 활용될 수 있다.
󰋫 공리적 방법의 본성과 그 함축에 대한 명료한 이해를 얻을 수 있었다.
󰋫 공리적 방법이 논리학이나 수학의 각 분야에 어떻게 구체적으로 구현되고 있는지를 이해할 수 있게 되었다.
󰋫 수학적 탐구의 본성과 수학적 대상의 문제, 수학적 진리의 문제 등 수학 철학의 핵심 문제에 대한 입장들을 잘 이해할 수 있게 되었다.
󰋫 수학의 중요성에 비추어 수학 철학을 다루는 대학 교양 강의가 개설될 필요가 있고, 이번 연구 성과는 이런 강의의 자료로 활용될 수 있을 것이다.
󰋫 연구 결과는 대학원 수업에서 토론의 자료로 이용될 수 있고, 향후 연구의 토대를 제공하는 구실을 할 것이다.
󰋫 나아가 연구 결과를 쉽게 풀어준다면, 초중고등 학교에서 수학의 중요성을 일깨우고 관심을 불러일으키는 자료로 이용될 수 있을 것이다.