본 논문은 양상 논리와 일차 논리간의 관련성을 다룰 것이다. 특히, 양상 논리를 일차 논리로 번역가능한지를 살펴볼 것이며, 역으로 일차 논리를 양상 논리로 번역가능한지도 살펴 볼 것이다. 양상 논리를 일차 논리로 번역한다는 것은 양상 기호를 사용하지 않으면서, ...

본 논문은 양상 논리와 일차 논리간의 관련성을 다룰 것이다. 특히, 양상 논리를 일차 논리로 번역가능한지를 살펴볼 것이며, 역으로 일차 논리를 양상 논리로 번역가능한지도 살펴 볼 것이다. 양상 논리를 일차 논리로 번역한다는 것은 양상 기호를 사용하지 않으면서, 양상적인 해석이 가능한 방안을 제시하겠다는 것이며, 일차 논리를 양상 논리로 번역하겠다는 것은 양상 기호가 없는 일차 논리들을 양상적으로 해석하고, 동시에 양상 체계 형태로 전환하겠다는 것이다.

물론 이러한 시도가 전혀 없었던 것은 아니다. 블랙번[2001]의 경우 양상 논리를 일차 논리로 번역하는 시도가 이루어진다. 거기에서는 주로 양상 명제 논리에 초점을 두고, 전산학적인 관점에서 접근이 이루어지고 있다. 본 논문에서는 블랙번의 명제 논리의 경우를 포함하여, 정규(normal) 술어 양상 논리에 대한 번역을 제시할 것이며, 그것도 다양한 체계들에 대한 번역을 제시할 것이다. 지금까지의 시도가 주로 특정 양상 체계들에 초점을 맞추고, 그것들을 번역하였다면, 본 논문에서는 ‘정규적’이라는 최소 요건만 갖춘다면, 번역이 가능함을 포괄적으로 보이고자 한다. 또한, 세계들의 도메인과 개체들의 도메인을 하나의 도메인으로 제시할 것이다.
역으로, 일차 논리를 양상 논리로 번역하려는 여러 시도들도 있다. 민츠[1992]의 경우는 제한적인 의미의 번역을 제시한다. 그는 일항 술어만이 존재하는 극히 제한적인 일차 술어 논리를 양상 논리로 번역하고 있다. 여기서는 일차 술어 논리의 모든 형태의 문장이 양상 술어 논리의 문장으로 번역될 수 있음을 보일 것이다.
더 나아가서, 일차 논리를 양상 논리로 번역하는 과정은 양상 논리를 일차 논리로 번역하는 것의 역과정임이 보여질 수 있을 것이며, 이에 따라 다양한 형태의 모형 이론적 성질들, 가령 정식집합 생략 정리와 같은 것들도 도출이 가능해 질 것이다. 포브스[1985]의 경우도 S5 술어 논리와 일차 논리에 대한 상호 번역 가능성에 대하여 이야기하고 있지만, 일차 술어 논리는 세계들의 도메인과 개체들의 도메인이 완전히 별개로 취급되는 한계를 가지고 있다. 본 논문에서는 그러한 제한 사항 같은 것은 두지 않는다.

본 연구를 통하여, 양상 논리와 일차 논리가 서로 번역가능하다는 것이 드러날 것이며, 따라서, 한 체계에 대한 결과를 나머지 체계에도 응용하여 적용할 수 있다는 것이 보여질 것이다. 특히, 일차 논리에 대한 수많은 모형이론적 성질들이 양상 이론에 대한 함축을 가질 수 있다는 것을 보이는 데 유용하게 사용될 수 있다. 역으로 양상 이론을 통해 보여진 여러 성질들이 일차 논리에서도 성립한다는 것을 보이는데에도 유용하게 사용될 수 있을 것이다.

사실 이 연구가 시작된 동기는 크립키 체계와 루이스 체계를 비교하는 것에서 시작되었다. 그 두 체계는 양상적인 상태를 표현하기 위한 전혀 다른 접근법을 사용하고 있고, 얼핏 보기에 그 두 접근법은 화해하기 어려운 것으로 보이기 때문이다. 그 둘을 화해시키기 위해 일차 논리와 양상 논리간의 번역을 고안하게 되었지만, 결과적으로 만들어진 체계에서는 그 두 체계의 비교보다는 양상 논리와 일차 논리의 모형 이론적인 성질 간에 어떠한 연관성이 있는지에 관한 문제에 초점을 두기로 하였다. 따라서 본 논문은 다양한 형태의 체계들의 해석-크립키식이던, 휴즈-크레스웰식이던-들에 대한 번역을 제시하고, 이 해석과 일차 논리의 해석을 검토할 것이다.

I장에서는 양상 논리를 일차 논리로 번역하는 문제를 다룰 것이다. 여기서는 크립키식 해석과 휴즈-크레스웰 식 체계 모두에 대한 번역을, 그리고 정규적인 형태의 모든 양상 술어 논리가 일차 논리로 번역이 가능함을 제시할 것이다.
II장에서는 일차 논리를 양상 논리로 번역하는 문제를 다룰 것이다. 모든 형태의 일차 술어 논리는 양상 논리로 번역이 가능함을 보일 것이며, 이를 위하여 특별히 색인적 술어라 지칭할만한 'E' 술어를 도입할 것이다. E(a)가 참이라는 말은 ‘a는 이 세계이다’와 같은 색인적인 의미를 갖기 때문에 색인적 술어라 지칭할 만하다. 그리고 이러한 술어의 도입이 그 번역에 있어서 가장 중요한 요소 중의 하나임이 드러날 것이다. 결국 이 술어의 도입으로 모든 일차 술어 논리가 S5술어 체계의 형태로 번역이 가능해질 것이다.
III장에서는 루이스의 상대역 이론을 중심으로 크립키 의미론과의 차이점과 그 비판을 담았다. 또한, 다른 여러 시도들을 비교분석하여 언급할 것이다.

This paper deals with the translation of first order formulas to predicate S5 formulas and the translation of modal formulas to first order formula.
This translation does not bring the first order formula itself to a modal system, but modal interpre ...

This paper deals with the translation of first order formulas to predicate S5 formulas and the translation of modal formulas to first order formula.
This translation does not bring the first order formula itself to a modal system, but modal interpretation of the first order formula can be given by the translation. Every formula can be translated, and the additional condition such as formula's having only one variable, or having both world domain and individual domain is not required. I introduce an indexical predicate 'E' for the translation. The meaning that 'E(a)' is true is 'this world is 'a' '. Because of this meaning, I call 'E' an indexical predicate. 'E' plays an important role for the translation.
In addition that the modal formulas can be translated into first order formulas, we can conclude that the first order logic and modal predicate logic is intertranslatable.

본 논문은 양상 논리와 일차 논리간의 관련성을 다룰 것이다. 특히, 양상 논리를 일차 논리로 번역가능한지를 살펴볼 것이며, 역으로 일차 논리를 양상 논리로 번역가능한지도 살펴 볼 것이다. 양상 논리를 일차 논리로 번역한다는 것은 양상 기호를 사용하지 않으면서, ...

본 논문은 양상 논리와 일차 논리간의 관련성을 다룰 것이다. 특히, 양상 논리를 일차 논리로 번역가능한지를 살펴볼 것이며, 역으로 일차 논리를 양상 논리로 번역가능한지도 살펴 볼 것이다. 양상 논리를 일차 논리로 번역한다는 것은 양상 기호를 사용하지 않으면서, 양상적인 해석이 가능한 방안을 제시하겠다는 것이며, 일차 논리를 양상 논리로 번역하겠다는 것은 양상 기호가 없는 일차 논리들을 양상적으로 해석하고, 동시에 양상 체계 형태로 전환하겠다는 것이다.

결국, 이 논문은 수많은 양상 논리를 표현하기 위한 방법들을 일차 술어 논리라는 표준적 형태로 통합하는 가능성을 타진해 본 것으로, 다른 형태의 수많은 양상 체계에도 이러한 방식의 번역이 가능할 것인지에 대답할 수 있는 한 가지 방법을 제시한 것이다. 가령, 직관 ...

결국, 이 논문은 수많은 양상 논리를 표현하기 위한 방법들을 일차 술어 논리라는 표준적 형태로 통합하는 가능성을 타진해 본 것으로, 다른 형태의 수많은 양상 체계에도 이러한 방식의 번역이 가능할 것인지에 대답할 수 있는 한 가지 방법을 제시한 것이다. 가령, 직관주의 논리를 양상적으로 표현하였을 때, 그 직관주의 논리라는 것은 일차 술어 논리로 번역이 가능하게 될 수 있는 것은 아닌가라는 문제가 제기될 수 있다. 즉, 직관주의 논리가 고전 논리의 하부 이론 형태로 표현이 가능할 것인가 역시 다룰만한 흥미로운 주제가 될 수 있다는 것이다.
이뿐 아니라, 불로스의 증명가능성 논리나, 다양한 다른 형태의 논리 역시 일차 술어 논리 속에서 비교가능할 수도 있을 것이다.
위의 문제들이 형식적인 논의의 장을 제공한다면, 철학적으로도 흥미로운 주제들을 던져줄 수 있다. 기본적으로 양상 논리와 일차 논리는 다른 해석 체계, 다른 존재의 가정, 가령 가능 세계와 같은 것을 염두에 두고 있다. 가능 세계에 대한 논의가 적어도 형식적으로 일차 술어 논리의 연장선상에 있다는 것이 형이상학적으로 어떠한 물음을 던질지 다시 검토할 필요가 있다는 것이다. 가령, 가능 세계와 같은 존재의 상정을 불필요한 상정이라고 봐야 하는지, 가능 세계와 세계 내 개체가 동일한 지위를 가지는지와 같은 문제에 대하여 심도 있는 논의가 추가적으로 요구된다 할 것이다.